Skirtingi Pythagoros teoremo įrodymo būdai: pavyzdžiai, aprašymas ir apžvalgos

Vienoje galite būti tikri viskąproc., kad klausimas, kokia yra hipotenuzės kvadratija, bet kuris suaugusysis bus drąsiai reaguoja: "Kojų kvadratų suma". Ši teorema tvirtai įsitvirtinusi kiekvieno išsilavinusio žmogaus protuose, bet pakanka paprašyti ką nors tai įrodyti, ir gali kilti sunkumų. Todėl leiskite mums prisiminti ir apsvarstyti skirtingus būdus įrodyti Pitagoro teoremą.

Trumpa biografijos apžvalga

Pitagoro teorema yra žinoma beveik visiems, betdėl kokios nors priežasties pagamintos žmogaus biografija nėra tokia populiari. Tai galima išspręsti. Todėl, prieš studijuodami įvairius Pythagoros teoremo įrodymus, reikia trumpai susipažinti su jo asmenybe.

Pitagoras - filosofas, matematikas, mąstytojas iš pradžiųSenovės Graikija. Šiandien labai sunku atskirti jo biografiją nuo legendų, kurie susidarė šio didžiojo žmogaus atminimui. Tačiau, kaip matyti iš jo pasekėjų raštų, Simaso Pythagoras gimė Samoso saloje. Jo tėvas buvo paprastas akmenų pjovėjas, bet jo motina kilusi iš kilmingos šeimos.

Remiantis legenda, Pitagoro išvaizdanuspyrė moteris, vardu Pythia, kurios garbe jie vadino berniuką. Pagal jos prognozes, gimęs berniukas turėjo daug naudos ir naudos žmonijai. Iš tikrųjų, ką jis padarė.

Gimimo teorema

Jo jaunystėje Pitagoras persikėlė iš Samoso salos įEgiptas, susitikti su garsiais Egipto išminčiais. Po susitikimo su jais buvo leista studijuoti, kur jis sužinojo apie visus didžiulius Egipto filosofijos, matematikos ir medicinos pasiekimus.

Tikriausiai Egipte buvo įkvėptas Pythagorasdidybė ir grožis piramidžių ir sukūrė jo puikią teoriją. Tai gali sukrėsti skaitytojus, tačiau šiuolaikiniai istorikai tiki, kad Pitagoras jo teoriją neįrodė. Jis perdavė savo žinias pasekėjams, kurie vėliau baigė visus reikalingus matematinius skaičiavimus.

Nepriklausomai nuo to, šiandien žinoma ne tikTeorijos įrodymo technika, bet keli. Šiandien galima tik spėlioti, kaip graikai padarė savo skaičiavimus, todėl yra skirtingų būdų pažvelgti į Pitagoro teorema įrodymas.

Pitagoro teorema

Prieš pradėdami bet kokius skaičiavimus, turite sužinoti, kurią teoriją įrodyti. Pitagoro teorema skamba taip: "Trikampyje, kurio vienas kampas lygus 90^o, kojų kvadratų suma yra lygi hipotenelio kvadratui. "

Iš viso yra 15 skirtingų būdų įrodyti Pitagoro teoremą. Tai gana didelis skaičius, todėl atkreipkime dėmesį į populiariausių iš jų.

Vienas metodas

Pirma, paženklinkime tai, kas mums duota. Šie duomenys bus išplėsti ir kitiems Pihagoros teoremų įrodymo būdams, todėl verta prisiminti visus turimus užrašus.

Manyti, nurodytus stačiakampis trikampis su kojų A, ir Hypotenuse, lygią c. Pirmasis įrodymo būdas grindžiamas tuo, kad stačiakampyje reikia paruošti kvadratą.

Norėdami tai padaryti, jums reikia ilgio aparengti segmentą, lygų katete ir atvirkščiai. Tai turėtų sudaryti dvi lygias aikštės puses. Liko tik lygiagrečių dviejų lygiagrečių linijų, o aikštė paruošta.

Viduje gauto skaičiaus, jūs turite atkreipti daugiauvienas kvadratas su šonu, lygiu pradinio trikampio hipotenuzei. Norėdami tai padaryti, nuo viršūnių ac ir st turi sudaryti du lygiagrečiai segmentai lygūs c. Taigi, mes gauname tris kvadrato puses, iš kurių viena yra originalaus stačiakampio trikampio hipotenuzė. Baigta subsidijuoti ketvirtąjį segmentą.

Remiantis gautu skaičiumi, galime daryti išvadą, kad išorinės kvadrato plotas yra (a + b)². Jei žiūrite į figūrą, matote, kad be vidinės kvadrato yra keturios stačiakampės trikampės. Kiekvienas plotas yra 0,5aV.

Todėl plotas yra: 4 * 0,5aв + с²= 2ав + с²

Taigi (a + b)²= 2ав + с²

Ir, atitinkamai, su²= a²+ in²

Teorema įrodyta.

Antrasis metodas: panašūs trikampiai

Ši formulė Pythagoros teoremos įrodymuibuvo gautas remiantis teiginiu, pateiktu geometrijos skiltyje apie panašius trikampius. Jame sakoma, kad dešiniojo trikampio katetas yra vidutiniškai proporcingas jo hipotenuzei ir segmento hypotenuse, išleidžiamo iš kampo 90 viršaus^o.

Pradiniai duomenys išlieka tie patys, todėl mes iškart pradėsime įrodymą. Mes nukreipti statmenai AB pusėje SD segmentą. Remiantis aukščiau pateiktu teiginiu, trikampio kojos yra:

AC = √AB * AD, CB = √AB * DV.

Atsakyti į klausimą, kaip įrodyti Pitagoro teoremą klausimą, įrodymas turi būti nukreipiami pagal suvedimas abi nelygybės.

AC²= AB * AD ir CB²= AB * DV

Dabar turime sujungti susidariusią nelygybę.

AC²+ CB²= AB * (АД * ДВ), kur АД + ДВ = АВ

Pasirodo, kad:

AC²+ CB²= AB * AB

Ir todėl:

AC²+ CB²= AB²

Pythagorean teoremo įrodymas ir įvairūs jo sprendimo būdai reikalauja visapusiško požiūrio į šią problemą. Tačiau ši galimybė yra viena iš paprasčiausių.

Kitas skaičiavimo metodas

Aprašymas įvairių būdų įrodyti teoremaPitagoras nieko negaliu pasakyti, kol tau nepradėsite praktikos. Daugybė metodų suteikia ne tik matematinius skaičiavimus, bet ir naujų figūrų kūrimą iš pradinio trikampio.

Tokiu atveju būtina išvesti dar vieną stačiakampį VSD trikampį iš BC. Taigi, dabar yra du trikampiai su bendra kojos BC.

Žinant, kad panašių skaičių sritys turi panašių linijinių matmenų kvadratų santykį, tada:

S_avs * su²- S_avd* in² = S_avd* a²- S_aukštyn* a²

S_avs* (s²in²) = a²* (S_avd-S_aukštyn)

su²in²= a²

su²= a²+ in²

Dėl skirtingų metodų įrodymas Pitagoro teorema su 8 klasės, šis variantas vargu ar tinka, galite naudoti šią procedūrą.

Paprasčiausias būdas įrodyti Pythagoros teoremą. Atsiliepimai

Kaip mano istorikai, šis metodas buvo pirmas kartasnaudojamas įrodyti teoremą net senovės Graikijoje. Tai paprasčiausias, nes jam nereikia jokių skaičiavimų. Jei brėžinys parašytas teisingai, tai tvirtinimas, kad a²+ in²= s² , bus aiškiai matoma.

Šio metodo sąlygos šiek tiek skirsis nuo ankstesnio. Norėdami įrodyti teoremą, tarkime, kad dešiniajame trikampyje ABC yra lygiagretusis trikampis.

Mes vartojame hipotenuzą AS kvadratinės pusės irdukterys iš trijų jo pusių. Be to, atsiradusiame kvadratu būtina sudaryti dvi įstrižas linijas. Taigi, norint gauti keturis lygiagrečių trikampių viduje.

Prie kojų AB ir CB taip pat reikia turėti vaiko kvadratą ir kiekvienoje iš jų ištraukti vieną įstrižinę liniją. Pirmoji eilutė yra sudaryta iš viršūnės A, antra eilutė yra sudaryta iš C.

Dabar reikia atidžiai stebėti gautą piešinį. Kaip įžambinė AC keturi trikampiai lygus originalus, bet Catete du, ji kalba apie šios teoremos teisingumą.

Beje, dėl šio Pitagoro teoremo įrodymo metodo pasirodė garsi frazė: "Pitagoro šortai yra vienodi visomis kryptimis".

G. Garfieldio įrodymas

James Garfield yra dvidešimt Jungtinių Amerikos Valstijų prezidentas. Be to, jis paliko savo ženklą istorijoje, kaip JAV valdovas, jis taip pat buvo gabus savarankiškas mokymas.

Savo karjeros pradžioje jis buvo įprastasvalstybinės mokyklos mokytojas, bet netrukus tapo vienos aukštojo mokslo įstaigos direktoriumi. Savęs tobulėjimo troškimas leido jam pasiūlyti naują teoriją apie teoriją, patvirtinančią Pihagoros teoremą. Teorema ir jos sprendimo pavyzdys yra tokios.

Visų pirma turite parengti popieriaus lapą dustačiakampio formos trikampis tokiu būdu, kad vieno iš jų katati yra antrojo tęsinys. Šių trikampių viršūnės turi būti sujungtos, kad galų gale atsirastų trapecija.

Kaip žinoma, trapecijos plotas lygus jo bazės pusės sumaiščiai su aukščiu.

S = a + b / 2 * (a + b)

Jei traktuojame trapecijos kaip figūrą, sudarytą iš trijų trikampių, tada jos plotas gali būti toks:

S = av / 2 * 2 + s²/ 2

Dabar reikia lyginti dvi pradines išraiškas

2ав / 2 + с / 2 = (а + в)²/ 2

su²= a²+ in²

Pythagoros teoremą ir jos įrodymų metodus galima parašyti ne tik vienam knygos tome. Bet ar yra prasmės, kai šios žinios praktikoje negali būti taikomos?

Praktinis Pitagoro teoremo taikymas

Deja, šiuolaikinėse mokyklų programoseŠią teoremą ketinama naudoti tik geometrinėmis problemomis. Absolventai netrukus išeis iš mokyklos sienų, nežinodami, kaip jie gali praktiškai pritaikyti savo žinias ir įgūdžius.

Tiesą sakant, naudoti Pythagorean teoremąKiekvienas gali atlikti savo kasdienybę. Ir ne tik profesiniame darbe, bet ir įprastuose vidaus reikaluose. Pažvelkime į keletą atvejų, kai Pythagorean teorema ir jos įrodymo metodai gali pasirodyti labai reikalingi.

Ryšys tarp teoremos ir astronomijos

Atrodo, kaip žvaigždės ir trikampiai gali būti sujungtos ant popieriaus. Tiesą sakant, astronomija yra mokslinė sritis, kurioje plačiai naudojama Pfagoros teorema.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šviesos spindulio judėjimą erdvėje. Žinoma, kad šviesa juda abiem kryptimis tuo pačiu greičiu. Trajektorija AB, kuri juda šviesos spinduliu, vadinama l. Ir pusę laiko, kai šviesa turi būti nukreipta iš taško A į tašką B, mes vadiname ją t. Ir spindulio greitis - c. Pasirodo, kad: c * t = l

Jei pažvelgsime į šį spindulį iš kitosPavyzdžiui, plokštumoje yra erdvinės linijos, kuri juda greičiu v, tada tokiais kūnų stebėjimais jų greitis pasikeis. Tokiu atveju net fiksuoti elementai judės gretimi v priešinga kryptimi.

Tarkime, kad komiksinis laineris plaukia į dešinę. Tuomet taškai A ir B, tarp kurių spinduliuojasi spindulys, pasisuks į kairę. Be to, kai šviesos juda iš taško A į tašką B, A punktas laikas pereiti, ir, atitinkamai, šviesa atėjo į naują C taško A į rasti pusę atstumo, kuriame A punkto buvo perkelta, būtina, siekiant padidinti laivo greitį per pusę šviesos kelionių metu (t ")

d = t "* v

Ir norint sužinoti, kiek tolimos šviesos spindulys gali praeiti per šį laiką, būtina nurodyti pusę naujojo buko kelio ir gauti tokią išraišką:

s = c * t "

Jei mes įsivaizduokime, kad šviesos C ir B taškai, taip paterdvinis pamušalas yra lygiagrečiojo trikampio viršūnė, tada segmentas iš taško A į linijinį padalijamas į du stačiakampius trikampius. Todėl dėka Piathagoros teoremos galima rasti atstumą, kurį gali išlaikyti šviesos spindulys.

s² = l² + d²

Šis pavyzdys, žinoma, nėra pats sėkmingiausias, nes tik vienetai gali pasisekti išbandyti praktikoje. Todėl apsvarstykite daugiau paprastų šio teoremo taikymo versijų.

Judriojo signalo perdavimo spindulys

Šiuolaikinio gyvenimo neįmanoma įsivaizduoti be išmaniųjų telefonų egzistavimo. Bet kiek tai būtų jiems, jei jie negalėtų prijungti abonentų per mobilųjį ryšį ?!

Mobiliojo ryšio kokybė tiesiogiai priklauso nuoMobiliojo ryšio operatoriaus antenos aukštis. Norėdami apskaičiuoti atstumą nuo mobiliojo bokšto, telefonas gali gauti signalą, galite taikyti PiTagoros teoremą.

Tarkime, mes turime rasti apytikslį stacionaraus bokšto aukštį, kad jis galėtų platinti signalą 200 kilometrų spinduliu.

AB (bokšto aukštis) = x;

BC (signalo perdavimo spindulys) = 200 km;

OS (pasaulio spindulys) = 6380 km;

Iš čia

OB = OA + ABOV = r + x

Taikant Pythagoras teoremą, mes sužinome, kad bokšto aukštis turi būti 2,3 kilometrai.

Pitagoro teorema kasdieniame gyvenime

Keista, kaip gali pasirodyti, gali pasirodyti Pitagoro teoremaPavyzdžiui, naudodamiesi net namų apyvokos reikmenimis, pavyzdžiui, spintelės aukščio nustatymu. Iš pirmo žvilgsnio nereikia naudoti tokių sudėtingų skaičiavimų, nes galite tiesiog atlikti matavimus naudodami ruletę. Tačiau daugelis yra įdomu, kodėl surinkimo procese yra tam tikrų problemų, jei visi matavimai buvo imtasi daugiau nei tiksliai.

Faktas yra tas, kad spinta yra surenkama įhorizontali pozicija ir tik tada pakyla ir tvirtinama prie sienos. Todėl kabineto šoninė sienelė konstrukcijos pakėlimo metu turi laisvai judėti tiek kambario aukščio, tiek įstrižai.

Tarkime, yra spinta su 800 mm gyliu. Atstumas nuo grindų iki lubų yra 2600 mm. Patyręs baldų gamintoja pasakys, kad korpuso aukštis turėtų būti 126 mm mažesnis nei kambario aukštis. Bet kodėl 126 mm? Apsvarstykite pavyzdį.

Leiskite mums patikrinti Pythagorean teoremo poveikį idealioms spintelių matmenims:

AC = √ AB²+ √BC²

AC = √2474²+800²= 2600 mm - viskas suartėja.

Tarkime, kad korpuso aukštis yra ne 2474 mm, o 2505 mm. Tada:

AC = 2505²+ +800²= 2629 mm.

Todėl ši spinta nėra tinkama įrengti šiame kambaryje. Kaip ir pakeldami vertikalią padėtį, galite sugadinti jo kūną.

Galbūt apsvarstyti skirtingus įrodymo metodusĮvairių mokslininkų teorema apie Pihagoros teoremą, mes galime daryti išvadą, kad tai yra daugiau nei tiesa. Dabar galite naudoti gautą informaciją kasdieniame gyvenime ir būti visiškai tikri, kad visi skaičiavimai bus ne tik naudingi, bet ir teisingi.