Indukcijos pavyzdžiai. Matematinio indukcijos metodas: sprendimų pavyzdžiai

Tiesa žinios visuomet buvo pagrįstosreguliarumo nustatymas ir jo teisingumo įrodymas tam tikromis aplinkybėmis. Tokiam ilgesniam logiškos sampratos egzistavimui taisyklės buvo suformuluotos, ir Aristotelis sukūrė "teisingų samprotavimų" sąrašą. Istoriškai yra įprasta suskirstyti visas išvadas į dvi grupes: nuo betono iki daugybės (indukcija) ir atvirkščiai (atskaitos). Reikėtų atkreipti dėmesį į tai, kad konkrečių ir bendrųjų bei konkrečių įrodymų tipai egzistuoja tik tarpusavyje ir negali būti vartojami vienas kitam.

Matematikos indukcija

Terminas "indukcija" yra lotyniškasšaknys ir yra tiesiog išverstas kaip "orientavimas". Atidžiai studijuodami, mes galime atskirti žodžio struktūrą, būtent lotynišką prefiksą - in- (nurodo nukreiptą veiksmą viduje ar viduje) ir -duction - įvadą. Reikia pažymėti, kad yra dviejų tipų - visiškas ir neišsamus indukcija. Pilna forma yra būdinga išvadoms, padarytoms iš visų objektų tam tikros klasės tyrimo.

Nebaigta - išvados, taikomos visiems dalyko klasei, tačiau parengtos remiantis tik kelių vienetų tyrimu.

Visiškas matematinis indukcija - išvada,remiantis bendromis išvadomis apie visą objektų klasę, funkciškai susijusią su natūralaus skaičiaus skaičiaus santykiu, remiantis šio funkcinio ryšio žiniomis. Proceso procesas vyksta per tris etapus:

• pirmasis įrodo matematinės indukcijos padėtį. Pavyzdys: f = 1, tai yra indukcijos pagrindas;
• Kitas etapas yra pagrįstas prielaida, kad pozicija yra tinkama visiems natūraliems skaičiams. Tai yra, f = h, tai yra indukcijos hipotezė;
• trečiasis etapas įrodo teisingumąPozicija f = h + 1, remiantis ankstesnio punkto teisingumu, yra indukcijos žingsnis arba matematinės indukcijos žingsnis. Pavyzdys yra vadinamasis "domino principas": jei pirmasis kaulai patenka iš eilės (pagrindas), visi eilutėje (pereinamieji) kaulai kris.

Ir linksmai ir rimtai

Kad suprastume supratimą, matematinio indukcinio metodo sprendimų pavyzdžiai atskleidžiami pokšto problemų formoje. Tai yra "mandagus posūkis" užduotis:

• Elgesio taisyklės uždrausti žmogų okupuotipasukite priešais moterį (šioje situacijoje ji gali eiti į priekį). Remiantis šiuo teiginiu, jei paskutinis eilutėje yra vyras, tada visi kiti yra vyrai.

Nuostabus matematinės indukcijos metodo pavyzdys yra "be matmenų" skrydžio problema:

• Būtina įrodyti, kad mikroautobusas yra patalpintasbet koks skaičius žmonių. Tiesa, kad vienas asmuo gali būti apgyvendintas transporto priemonėje be jokių sunkumų (pagrindas). Bet nesvarbu, kiek mikroautobusas yra užsiėmęs, visada į jį pateks vienas keleivis (indukcinis žingsnis).

Susipažinę draugų ratai

Gana dažnai susiduriama su sprendimų pavyzdžiais, kai matematinė problemos ir lygčių indukcija. Kaip šio požiūrio iliustraciją galime apsvarstyti šią problemą.

Sąlyga: plokštumoje yra h ratu. Būtina įrodyti, kad bet kokiam figūrų sudarymui kortelė, kurią jie sudaro, gali būti tinkamai spalvos dviejų spalvų.

Sprendimas: h = 1 atveju tvirtinimas tiesa yra akivaizdus, ​​todėl įrodymas bus grindžiamas apskritimų skaičiumi h + 1.

Mes manome, kad teiginys yra patikimasbet koks žemėlapis, o plokštumoje - h + 1 apskritimai. Jei ištrinsite vieną iš apskritimų iš viso, galite jį teisingai spalvos dviejų spalvų (juodos ir baltos) žemėlapiu.

Atkuriant ištrintą ratą,kiekvieno regiono spalva yra priešinga (šiuo atveju viduje apskritime). Gauta žemėlapis, teisingai spalvotas dviem spalvomis, kuris turėjo būti įrodytas.

Pavyzdžiai su natūraliais skaičiais

Žemiau aiškiai parodyta matematinės indukcijos metodo taikymas.

Sprendimų pavyzdžiai:

Įrodykite, kad bet kuriam h turi tokią lygybę:

1²+2²+3²+ + + h²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

Sprendimas:

1. Leiskite h = 1, tada:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Tai reiškia, kad h = 1 teiginys yra teisingas.

2. Darant prielaidą, kad h = d, gauname lygtį:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Darant prielaidą, kad h = d + 1, gauname:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²+2²+3²+ ... + d²+ (d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= (d (d + 1) (2d + 1) + 6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) + 6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²+ 7d + 6) / 6 = (D + 1) (2 (D + 3/2) (D + 2)) / 6 = (D + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Taigi įrodyta lygybės h = d + 1 teisingumas, todėl tvirtinimas yra teisingas bet kokiam natūraliam skaičiui, kuris yra pateiktas sprendimo pavyzdyje matematine indukcija.

Tikslas

Sąlyga: reikalaujama įrodyti, kad bet kokiai h reikšmei yra 7 išraiška^h-1 dalijamas 6 be likučio.

Sprendimas:

1. Tarkime, kad h = 1, šiuo atveju:

R₁= 7¹-1 = 6 (t.y., dalijamasis 6 be likučio)

Todėl, jei h = 1, teiginys galioja;

2. Tarkime, kad h = d ir γ^d-1 dalijamas 6 be likučių;

3. Tvirtinimo pagrįstumas h = d + 1 yra įrodymas:

R_d+1= 7^d+1-1 = 7 ∙ 7^d-7 +6 = 7 (7^d-1) +6

Šiuo atveju pirmasis terminas yra padalintas iš 6 pagal pirmojo taško prielaidą, o antrasis terminas yra lygus 6. Teiginys, kad 7^h-1 yra dalijamasis 6 be likučio bet kokiam natūraliam h - tiesa.

Teismo sprendimų klaida

Dažnai įrodymai naudojami neteisingaimotyvuojant dėl ​​naudojamų loginių konstrukcijų netikslumų. Iš esmės tai atsitinka, kai yra pažeista įrodymų struktūra ir logika. Pavyzdys gali būti netinkamo samprotavimo pavyzdys.

Tikslas

Sąlyga: jums reikia įrodyti, kad bet koks akmenų krūvas nėra krūva.

Sprendimas:

1. Tarkime, kad h = 1, šiuo atveju akmuo 1 akmuo ir teiginys yra tiesa (pagrindas);

2. Tarkime, kad už h = d tiesa, kad akmenų krūva nėra krūva (prielaida);

3. Leiskite h = d + 1, tai reiškia, kad pridedant dar vieną akmenį, rinkinys nebus krūva. Išvada yra ta, kad prielaida galioja visoms natūralioms h.

Klaida yra tai, kad nėra apibrėžimo, kiek akmenų sudaro krūvas. Toks neveikimas yra skubotas apibendrinimas matematinės indukcijos metodu. Pavyzdys, kuris aiškiai rodo.

Indukcija ir logikos įstatymai

Istoriškai indukcijos ir atskaitymo pavyzdžiai visada "eina rankomis į rankas". Tokios mokslo disciplinos kaip logika, filosofija juos apibūdina priešingose ​​formose.

Žvelgiant iš lo cikos įstatymo induktyvumoapibrėžimai yra susiję su faktais, o sklypų teisingumas nenustato gauto teiginio teisingumo. Dažnai išvados gaunamos su tam tikra tikimybe ir tikimybe, kuri, žinoma, turėtų būti tikrinama ir patvirtinta papildomais tyrimais. Loginio indukcijos pavyzdys gali būti teiginys:

Estijoje - sausra, Latvijoje - sausra, Lietuvoje - sausra.

Estija, Latvija ir Lietuva yra Baltijos šalys. Visose Baltijos valstybėse yra sausra.

Iš pavyzdžio galime padaryti išvadą, kad nauja informacijaar tiesos negalima gauti indukcijos būdu. Vienas iš galimų išvadų teisingumo yra tas, į kurį galima atsižvelgti. Be to, patalpų tiesa negarantuoja tokių pačių išvadų. Tačiau šis faktas nereiškia, kad nuvysta į atskaitą maržos sužadinti reglamentų ir mokslo įstatymų daugybė pateisina indukcijos metodu. Pavyzdys yra tas pats matematika, biologija ir kiti mokslai. Tai daugiausia dėl visiško indukcijos metodu, tačiau kai kuriais atvejais, taikomas dalis.

Garbingas indukcijos amžius leido jai prasiskverbti beveik visose žmogaus veiklos srityse - tai yra mokslas, ekonomika ir kasdieninės išvados.

Indukcija mokslo aplinkoje

Indukcijos metodas reikalauja kruopštaus požiūrio,nes per daug priklauso nuo tirtų visos informacijos skaičiaus: kuo daugiau tyrinėjamas, tuo patikimesnis rezultatas. Remiantis šia funkcija, moksliniai įstatymai, gauti indukciniu būdu, ilgą laiką yra tikrinami tikimybinių prielaidų lygyje, siekiant išskirti ir ištirti visus galimus struktūrinius elementus, jungtis ir įtaką.

Moksleivyje remiasi indukcijaReikšmingi ženklai, išskyrus atsitiktines pozicijas. Šis faktas yra svarbus atsižvelgiant į mokslines žinias. Tai aiškiai matyti indukcijos mokslo pavyzdžiuose.

Moksleivyje yra dviejų rūšių indukcija (susijusi su tyrimo metodu):

1. indukcija-atranka (arba atranka);
2. indukcija yra išimtis (pašalinimas).

Pirmasis tipas skiriasi metodine (griežta) klasės pavyzdžių (poklasių) atranka iš skirtingų sričių.

Šios rūšies indukcijos pavyzdys yra toks: sidabras (arba sidabro druskos) valo vandenį. Ši išvada grindžiama ilgalaikėmis pastabomis (patvirtinimų ir atmetimų atranka - atranka).

Antroji indukcija yra pagrįsta išvadomis,nustatyti priežastinius ryšius ir neįtraukti aplinkybių, kurios neatitinka jo ypatybių, būtent universalumas, laiko seka, būtinybė ir dviprasmiškumas.

Indukcija ir atskaitymas iš filosofijos požiūriu

Jei pažvelgsite į istorinę retrospektyvą, tuometterminas "indukcija" pirmą kartą paminėjo "Socrates". Aristotelis aprašė filosofijos indukcijos pavyzdžius labiau apytikriai terminologiniame žodyne, tačiau klausimas apie neužbaigtą indukciją lieka atviras. Po Aristotelio siljizmo persekiojimo indukcinis metodas tapo pripažintas vaisingas ir vienintelis įmanomas gamtos mokslų. Indeksavimo tėvas, kaip savarankiškas specialus metodas, yra laikomas "Bacon", bet jis negalėjo atskirti, kaip to reikalauja amžininkai, indukcija iš dedukcinio metodo.

Tolesnę indukcijos plėtotę užsiėmė J. Mill'as, kuris laikė indukcijos teoriją keturių pagrindinių metodų požiūriu: sutikimas, skirtumas, likučiai ir atitinkami pokyčiai. Nenuostabu, kad iki šiol šie metodai, kai jie išsamiai nagrinėjami, yra deduktyvūs.

Supratimas apie Beacono ir Millo teorijų nenuoseklumąvadovaujantys mokslininkai tyrė tikimybinį indukcijos pagrindą. Tačiau čia taip pat nebuvo be kraštutinumų: buvo bandoma mažinti indukciją į tikimybės teoriją ir visas tolesnes pasekmes.

Pasitikėjimo indukcijos balsas gaunamas praktiškaitaikymas tam tikrose srityse ir indukcinės bazės metrinis tikslumas. Filosofijos indukcijos ir atskaitymo pavyzdys gali būti laikomas visuotinio gravitacijos įstatymu. Įstatymo atradimo metu "Newton" sugebėjo patikrinti 4 procentų tikslumą. Ir patikrinus daugiau nei du šimtus metų, tikslumas buvo patvirtintas iki 0,0001 proc., Nors bandymas buvo atliktas su tais pačiais indukciniais apibendrinimais.

Šiuolaikinė filosofija daugiau dėmesio skiriaatskaita, kurią diktuoja logiškas noras daryti išvadą iš jau žinomų naujų žinių (ar tiesos), nenurodant patirties, intuicijos ir "grynos" sampratos. Atsakydamas į tikrąjį prielaidą dedukciniame metode, visais atvejais produkcija yra tikras teiginys.

Tai labai svarbi savybė neturėtų būtiužtemdyti indukcinio metodo vertę. Kadangi indukcija, pagrįsta patirties pasiekimais, tampa jos apdorojimo priemone (įskaitant apibendrinimą ir sisteminimą).

Ekonomikos indukcija

Indukcija ir atskaita jau seniai naudojamos kaip ekonomikos tyrimo ir prognozavimo metodai.

Pakanka naudoti indukcijos metodąplatus: prognozuojamų rodiklių (pelno, nusidėvėjimo ir tt) įgyvendinimo tyrimas ir bendras įmonės būklės vertinimas; formuojant efektyvią įmonių skatinimo politiką remiantis faktais ir jų tarpusavio ryšiais.

Tas pats metodas taikomas pradiniam "Shewharto diagramas", kur pagal atskyrimo procesų prielaida apie valdomų ir nevaldomų teigia, kad sugebėjo neveikiančią proceso taikymo sritį.

Reikia pažymėti, kad moksliniai įstatymaipagrįsta ir patvirtinta indukcijos metodą, ir kai ekonomika yra mokslas, dažnai naudoja matematinę analizę, rizikos teoriją ir statistiką, tai nenuostabu, kad indukcijos buvimą pagrindinio sąrašo metodus.

Ekonomikos indukcijos ir atskaitymo pavyzdys gali būtitarnauti šiai situacijai. Maisto produktų (iš vartotojų krepšelio) ir pagrindinių prekių kainų padidėjimas skatina vartotoją galvoti apie besiformuojančias didelę kainą valstybėje (indukcija). Tuo pat metu dėl didelių sąnaudų naudojant matematinius metodus galima atskleisti atskirų prekių ar prekių kategorijų kainų kilimo (atskaitymų) rodiklius.

Dažniausiai kalbama apie indukcijos metodąvadovai, vadovai, ekonomistai. Norint sugebėti numatyti įmonės plėtrą su pakankamai teisingumu, rinkos elgesiu, konkurencijos pasekmėmis, reikia indukcinio-dedukcinio požiūrio į informacijos analizę ir apdorojimą.

Aiškus ekonomikos įvedimo pavyzdys, susijęs su klaidingais sprendimais:

• Bendrovės pelnas sumažėjo 30%;
  konkuruojanti bendrovė išplėtė produktų liniją;
  niekas nepasikeitė;
• konkuruojančios įmonės gamybos politika sumažino pelną 30%;
• todėl būtina įgyvendinti tą pačią gamybos politiką.

Pavyzdys yra spalvinga pavyzdys, kaip neefektyvus indukcijos metodo naudojimas prisideda prie įmonės žlugimo.

Atskaitymas ir indukcija psichologijoje

Kadangi yra metodas, logiškaitaip pat yra tinkamai organizuotas mąstymas (naudojant metodą). Psichologija kaip mokslas, studijuojantis psichinius procesus, jų formavimą, vystymąsi, tarpusavio ryšius, sąveiką, atkreipia dėmesį į "dedukcinį" mąstymą, kaip į vieną iš atskyrimo ir indukcijos apraiškų formų. Deja, interneto psichologijos puslapiuose praktiškai nėra jokio deduktyvumo-indukcinio metodo vientisumo pagrindimo. Nors profesionalūs psichologai dažniau susiduria su indukcija, o tiksliau - klaidingomis išvadomis.

Pavyzdys indukcijos psichologijos, kaip iliustracijaklaidingi sprendimai gali būti pasakojimas: mano motina apgaudinėja, todėl visos moterys yra apgaudinėjančios. Dar daugiau galima pasimokyti iš "klaidingų" indukcijos iš gyvenimo pavyzdžių:

• studentas negali nieko, jei jis gavo matematikos dievą;
• jis kvailys;
• jis protingas;
• Galiu viską padaryti;

- ir daugelis kitų vertinimo sprendimų, gautų visiškai atsitiktinių ir kartais nereikšmingų pažadų.

Reikėtų atkreipti dėmesį: kai asmens sprendimų klaidingumas pasiekia absurdiškumą, terapijos darbuotojas pasirodė priekyje. Vienas iš specialistų paskyrimo indukcijos pavyzdžių:

"Pacientas yra visiškai tikras, kad raudona spalvaatlieka jam tik pavojų bet kokioms apraiškoms. Dėl to žmogus iš savo gyvenimo pašalino šią spalvų schemą - kiek įmanoma. Namų aplinkoje yra daug galimybių patogiai gyventi. Galite atsisakyti visų raudonos spalvos objektų arba pakeisti juos analogais, pagamintomis kitoje spalvų schemoje. Bet viešose vietose, darbe, parduotuvėje - tai neįmanoma. Kilus į stresinę situaciją, pacientas kiekvieną kartą patiria "visiškai" skirtingų emocinių būsenų "potvynį", kuris gali būti pavojingas kitiems ".

Šis indukcijos pavyzdys, nesąmoningaivadinamas "fiksuotomis idėjomis". Tuo atveju, jei tai atsitiks su psichiškai sveikų žmonių, galima kalbėti apie minties veiklos organizavimo trūkumą. Elementarioji dedukcinio mąstymo plėtra gali tapti būdas atsikratyti prievartinių būsenų. Kitais atvejais psichiatrai dirba su tokiais pacientais.

Pateikti indukcijos pavyzdžiai liudija, kad "įstatymo nežinojimas neatleidžia nuo pasekmių (klaidingų sprendimų)".

Psichologai, dirbantys deduktyvinio mąstymo tema, sudarė rekomendacijų, skirtų padėti žmonėms valdyti šį metodą, sąrašą.

Pirmasis klausimas yra problemų sprendimas. Kaip matyti, matematikoje naudojama indukcijos forma gali būti laikoma "klasikine", o šio metodo naudojimas prisideda prie proto "disciplinos".

Kita sąlyga, skirta plėtoti dedukcinį mąstymąyra horizontų išplėtimas (kuris aiškiai mano, kad jis aiškiai teigia). Ši rekomendacija nukreipia nukentėjusius į mokslo ir informacijos skaitytuvus (bibliotekos, tinklalapius, švietimo iniciatyvas, keliones ir kt.).

Tikslumas yra kita rekomendacija. Galų gale, iš indukcijos metodų naudojimo pavyzdžių aišku, kad tai daugeliu atžvilgių yra teiginių tiesos garantija.

Taip pat buvo išvengta proto lankstumo, tai reiškia galimybę panaudoti įvairius būdus ir metodus sprendžiant užduotis, taip pat atsižvelgiant į įvykių raidos kintamumą.

Ir, žinoma, stebėjimas, kuris yra pagrindinis empirinės patirties kaupimo šaltinis.

Atskirai reikėtų paminėti taip vadinamą"Psichologinė indukcija". Šis terminas, nors ir retai, gali būti rasti internete. Visi šaltiniai neteikia bent trumpo šios sąvokos apibrėžimo formuluotės, tačiau nurodo "gyvenimo pavyzdžius", o taip pat suteikia naujo pobūdžio indukciją į pasiūlymą, tada tam tikras psichinės ligos formas, tai yra žmogaus psichikos ekstremalios būklės. Iš to, kas išdėstyta pirmiau, akivaizdu, kad bandymas išgauti "naują terminą", pagrįstą klaidingomis (dažnai neteisingomis) prielaidomis, smerkia eksperimentą gaunant klaidingą (arba skubotą) teiginį.

Reikia pažymėti, kad nuoroda į eksperimentus1960 (nenurodant vietą, iš eksperimentuotojai pavyzdžio dalykų ir, svarbiausia pavadinimai - eksperimento tikslas) atrodo, švelniai tariant, nėra įtikinamas, o teiginys, kad smegenys suvokia informaciją, aplenkiant visas suvokimo (fraze "jaučia poveikį" Šiuo atveju organus tiktų labiau ekologiškas), ji kelia klausimus per patiklumu ir nekritiškas ataskaitų autoriaus.

Užuot baigę

Mokslo karalienė - matematika, sąmoningai naudoja visusgalimos indukcijos ir atskaitymo metodo atsargos. Manoma, kad galimi pavyzdžiai leidžia mums daryti išvadą, kad net ir labiausiai tikslūs ir patikimi metodai, kurie yra paviršutiniški ir negarbingi (nesuprantami, kaip sakoma), visada lemia klaidingus rezultatus.

Masinio sąmonėje atskaitos metodas yra susijęs su garsiuoju Šerloku Holmsu, kuris savo loginėse konstrukcijose dažniau naudoja indukcijos pavyzdžius, reikalaujančiose situacijose, naudodamas atskaitymą.

Straipsnyje nagrinėjami šių metodų taikymo pavyzdžiai įvairiuose moksluose ir žmogaus veiklos srityse.