Neapibrėžtas integralas. Neriboto integralų apskaičiavimas

Vienas pagrindinių matematinių daliųanalizė yra integralus skaičiavimas. Ji apima plačiausią objektų lauką, kur pirmasis yra neapibrėžtas integralas. Kad pozicija būtų raktas, tai netgi vidurinėje mokykloje atsiranda vis daugiau perspektyvų ir galimybių, kurios apibūdina aukštąją matematiką.

Išvaizda

Iš pirmo žvilgsnio integralas atrodo neįmanomasmodernus, aktualus, bet praktikoje paaiškėja, kad pasirodė 1800 m. pr. Kr. Tėvynė oficialiai laikoma Egiptu, nes anksčiau nebuvo įrodymų apie jo egzistavimą. Jis, dėl informacijos stokos, visą šį laiką laikomas reiškiniu. Jis dar kartą patvirtino mokslo išsivystymo lygį tarp tų laikų tautų. Galiausiai buvo rasta senovės graikų matematikų darbai, kilę nuo IV a. Pr. Kr. Jie apibūdinti metodas, naudojamas, kai neribotam sudėtinė, kurio esmė buvo rasti tūrį arba plotą kreivinio formos (trimatis ir dviejų matmenų plokštumoje, atitinkamai). Skaičiavimo principas buvo grindžiamas pradinio skaičiaus dalijimu į begalybės mažesnes sudedamąsias dalis, su sąlyga, kad jų apimtis (plotas) jau žinoma. Laikui bėgant, šis metodas išaugo, Archimedas jį naudojo, norėdamas rasti parabolės plotą. Tuo pačiu metu analogiškus skaičiavimus atliko senovės Kinijos mokslininkai, be to, jie buvo visiškai nepriklausomi nuo Graikijos mokslo brolių.

Vystymasis

Kitas laimėjimas XI amžiuje jau yra mūsų eros laikaiArabų mokslininkas "vagono" Abu Ali al-Basri, kuris pastūmėjo į jau žinomas ribas darbas, buvo kilęs iš vientiso formulę apskaičiuojant sumas ir laipsnių sumas iš pirmos iki ketvirtos, naudojant tai mes žinome, matematinės indukcijos metodą.

Modernybės protai grožėtis kaip senovėsEgiptiečiai sukūrė nuostabų paminklus be jokių specialių įrankių, išskyrus, kad jų pačių rankose, bet nėra A MAITINIMO Mad mokslininkų laiko ne mažiau stebuklas? Palyginti su dabartiniais laikais, jų gyvenimas atrodo beveik primityvus, tačiau neapibrėžtų integralų sprendimas buvo gautas visur ir praktiškai buvo naudojamas tolesniam vystymuisi.

Kitas žingsnis įvyko XVI a., KadaItalijos matematikas Cavalieri išskyrė nedalomą metodą, kurį pakėlė Pierre Fermat. Būtent tie du asmenys, kurie šiuo metu yra žinomi šiuolaikinio integraliojo skaičiavimo pagrindu. Jie susiejo diferenciacijos ir integracijos sąvokas, kurios anksčiau buvo suvokiamos kaip autonominiai vienetai. Apskritai, šių laikų matematika buvo suskaidyta, išvadų dalelė egzistavo savaime, turint ribotą taikymo sritį. Unifikacijos kelias ir bendrosios paieškos ieškojimas tuo metu buvo vienintelis teisingas, nes jo dėka moderni matematinė analizė galėjo augti ir vystytis.

Laikui bėgant viskas pasikeitė ir pavadinimasintegralas įskaitant. Apskritai, jis buvo paskirta mokslininkams, kuris savaip, pavyzdžiui, Niutonas naudojami akimirkos piktogramą, kuri įdėti integrable funkcija, arba tiesiog kartu sudėjus.

Šis nesutarimas tęsėsi iki XVII a.kai žinomas mokslininkas Gottfriedas Leibnizas pristatė mums tokį panašų simbolį visai matematinės analizės teorijai. Išsišakojusio "S" iš tikrųjų remiasi šiuo lotynišku abėcėlės raidę, nes tai reiškia antipodų sumą. Pavadinimas buvo suteiktas integralui dėka Jacob Bernoulli po 15 metų.

Oficialus apibrėžimas

Neapibrėžtas integralas tiesiogiai priklauso nuo antiindikacijos apibrėžimo, todėl pirmiausia jį apsvarstykite.

Primityvus yra atvirkštinė funkcijaišvestinė, praktikoje taip pat vadinama primityvu. Kitaip tariant, prymitywnym funkcija D - tai funkcija, D, darinys, iš kurių yra lygus prieš <=> V "= prieš paieškos primityvi yra apskaičiuoti neribotam neatskiriama ir pats procesas yra vadinamas integracija ..

Pavyzdys:

Funkcija s (y) = y³, ir jo priešvirusinis S (y) = (y⁴/ 4).

Iš visų funkcijų primityvų rinkinį - tai neapibrėžta neatsiejama, žymimas jį taip: ∫v (x) dx.

Kadangi V (x) yra tik keletasPradinės funkcijos primityvui mes turime išraišką: ∫v (x) dx = V (x) + C, kur C yra pastovi. Savavališka konstanta suprantama kaip bet kuri pastovi, nes jos išvestinė vertė yra lygi nuliui.

Savybės

Savybes, kurios turi neribotą integralą, grindžiamos pagrindine išvestinių produktų apibrėžtimi ir savybėmis.

Apsvarstykite pagrindinius dalykus:

• primityvio darinio integralas pats yra priešpaskutinis plius savavališkas pastovus C <=> ∫V "(x) dx = V (x) + C;
• darinys, kurio jos funkcija integralas turi pirminę funkciją <=> (∫v (x) DX) "= v (x);
• pastovus paimta iš pagal sudėtinė žymens <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kur k - yra savavališkas;
• sudėtinė, kuris yra paimtas iš tokio paties lygi suma į Integralų suma <=> ∫ (v (y) + w (y)) DY = ∫v (Y) DY + ∫w (Y) dy.

Iš dviejų paskutinių savybių galima daryti išvadą, kad neapibrėžtas integralas yra linijinis. Dėl to mes turime: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Fiksavimui nagrinėjame neribotų integralų sprendimų pavyzdžius.

Būtina rasti integralą ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Pavyzdžiui, mes galime padaryti išvadą: nežinau, kaip išspręsti neapibrėžtus integralus? Tiesiog suraskite visus prieštatinius! Ir čia yra paieškos principai žemiau.

Metodai ir pavyzdžiai

Norint išspręsti integralą, galime pasinaudoti šiais metodais:

• naudokite gatavą lentelę;
• integruoti dalimis;
• integruoti keičiant kintamąjį;
• subdukcija pagal skirtumo ženklą.

Lentelės

Lengviausias ir malonesnis būdas. Šiuo metu matematinė analizė gali pasigirti gana plataus masto lentelę, kurioje yra nustatytos pagrindinės neapibrėžtųjų integralų formulės. Kitaip tariant, yra šablonų, kurie yra gauti prieš jus ir už jus, lieka juos naudoti tik. Čia pateikiamas pagrindinių lentelių pozicijų sąrašas, kuriam galima gauti beveik visus kiekvieno pavyzdžio sprendimus:

• ∫0dy = C, kur C yra pastovi;
• ∫dy = y + C, kur C yra pastovi;
• ∫yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, kur C yra pastovi, o n yra nulinis skaičius;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kur C yra pastovi;
• Ëe^ydy = e^y + C, kur C yra pastovi;
• ∫k^ydy = (k^y/ ln k) + C, kur C yra pastovi;
• ∫ cosydy = siny + C, kur C yra pastovi;
• ∫sinydy = -cosy + C, kur C yra pastovi;
• Uld / cos²y = tgy + C, kur C yra pastovi;
• Ëdy / sin²y = -ctgy + C, kur C yra pastovi;
• ∫dy / (1 + y²) = arctgy + C, kur C yra pastovi;
• ∫chydy = shy + C, kur C yra pastovi;
• ∫shydy = chy + C, kur C yra pastovi.

Jei reikia, atlikite kelis žingsnius, įtraukite "integralą" į stalo vaizdą ir mėgaukitės pergale. Pavyzdys: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C.

Pagal sprendimo yra aišku, kad, pavyzdžiui, stalo integrand trūksta daugiklis 5. pridėti Mes ją lygiagrečiai su šiuo dauginant 1/5 bendrąjį saviraiškos nepakeitė.

Integracija dalimis

Apsvarstykite dvi funkcijas - z (y) ir x (y). Jie turi būti nuolat diferencijuojami visame apibrėžimo sferoje. Vienoje diferenciacijos savybių turime: D (xz) = xdz + zdx. iš abiejų pusių integravimas, gauname: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => Zx = ∫zdx + ∫xdz.

Perrašyti gautą lygtį, gauname formulę, kuri apibūdina integracijos metodą dalimis: ∫zdx = Zx - ∫xdz.

Kodėl tai reikalinga? Tas faktas, kad kai kurie iš pavyzdžių būtų galima supaprastinti, tarkim, sumažinti ∫zdx ∫xdz, jei pastaroji yra arti lentelių forma. Be to, ši formulė gali būti taikoma daugiau nei vieną kartą, siekiant optimalaus rezultato.

Kaip išspręsti neapibrėžtus integralus tokiu būdu:

• reikia apskaičiuoti ∫ (s + 1) e^2sds

∫ (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2∫e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C;

• jums reikia apskaičiuoti ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = S, dy = ds} = slns - ∫s x ds / S = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.

Kintamas pakeitimas

Šis neapibrėžtų integralų sprendimo principas nėraMažiau reikalaujama nei ankstesniame, nors ir sunkesnė. Metodas susideda iš šių: tegul V (x) yra tam tikros funkcijos v (x) integralas. Jei pavyzdys yra sudėtingas, tai yra puiki galimybė supainioti ir eiti netinkamu būdu. Norėdami to išvengti, yra praktikuojamas perėjimas iš kintamojo x į z, kuriame bendroji frazė vizualiai supaprastinama, kai išsaugoma z priklausomybė nuo x.

Matematinių terminų, tai yra taip: ∫v (x) dx = ∫v (Y (z)) y ", (Z) dz = V (z) = V (Y^-1(x)), kur x = y (z) yra permutacija. Ir, žinoma, atvirkštinė funkcija z = y^-1(x) visiškai apibūdina priklausomybę irkintamųjų tarpusavio ryšys. Svarbi pastaba - diferencialas DX nebūtinai pakeisti nauju diferencinę dz, nuo kintamojo pokyčio neribotam integralas apima pakeičiant ją visur, ne tik į integrand.

Pavyzdys:

• Būtina rasti ∫ (s + 1) / (s² + 2s - 5) ds

Mes taikome pakeitimą z = (s + 1) / (s²+ 2s-5). Tada dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Todėl mes gauname tokią išraišką, kurią labai lengva apskaičiuoti:

∫ (s + 1) / (s²+ 2S-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln z | + C = 1 / 2ln | -ai²+ 2s-5 | + C;

• reikia rasti integralą ∫2^se^sdx

Norėdami išspręsti šią frazę, perrašome šią formą:

∫2^se^sds = ∫ (2e)^sds

Mes žymime a = 2e (pakeičiant argumentą, kurio šis žingsnis ne, vis dar s), mes iš pirmo žvilgsnio pateikiame sudėtingą integralą, į pagrindinę lentelės formą:

∫ (2e)^sds = ∫a^sds = a^s / lna + C = (2e)^s / ln (2e) + C = 2^se^s / ln (2 + lne) + C = 2^se^s / (ln2 + 1) + C.

Piešimas pagal skirtumo ženklą

Apskritai, šis neapibrėžtų integralų metodas yra kintamojo pakeitimo principo brolio dvynys, tačiau projektavimo procese yra skirtumų. Išsamiau apsvarstykime.

Jei ∫v (x) dx = V (x) + C ir y = z (x), tada ∫v (y) dy = V (y) + C.

Tuo pačiu metu nereikėtų pamiršti trivialių integralių transformacijų, tarp kurių:

• dx = d (x + a), kur a yra bet kokia konstanta;
• dx = (1 / a) d (ax + b), kur a vėl yra pastovi, bet ne lygi nuliui;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Jei apsvarstysime bendrą atvejį, kai apskaičiuosime neapibrėžtą integralą, pavyzdžiai gali būti suskaidyti į bendrą formulę w "(x) dx = dw (x).

Pavyzdžiai:

• Būtina rasti ∫ (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3)²ds = 1 / 2∫ (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

∫tgsds = ësins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Pagalba internete

Kai kuriais atvejais kaltė gali būtiar tingumas ar skubus poreikis, galite naudoti internetinius patarimus arba, tiksliau, naudoti netikrų integralų skaičiuoklę. Nepaisant visiško integralų akivaizdaus sudėtingumo ir prieštaringumo, jų sprendimas priklauso nuo tam tikro algoritmo, pagrįsto principu "jei ne ... tada ...".

Žinoma, ypač sudėtingų tokių pavyzdžiųskaičiuotuvas nevaldo, nes yra atvejų, kai tirpalas turi būti rastas dirbtinai, "priverstinai" įvedant tam tikrus proceso elementus, nes negalima pasiekti akivaizdžių rezultatų. Nepaisant visų prieštaringų šio teiginio, tiesa, nes matematika iš esmės yra abstraktus mokslas ir mano, kad jo pagrindinė užduotis yra išplėsti galimybių ribas. Iš tiesų, labai sunku judėti ir vystytis sklandžiai įsitvirtinusiose teorijose, todėl nereikėtų manyti, kad sprendžiami neapibrėžtų integralų, kuriuos mes davėme, sprendimų pavyzdžiai yra galimybių viršuje. Tačiau leiskite mums grįžti į techninę šio klausimo pusę. Bent jau patikrinti skaičiavimus galite naudoti paslaugas, kuriose viskas buvo parašyta prieš mus. Jei yra poreikis automatiškai apskaičiuoti sudėtingą išraišką, tada jie negali padaryti, turės pasinaudoti rimtesne programine įranga. Visų pirma verta atkreipti dėmesį į MatLab aplinką.

Paraiška

Negaliojančių integralų sprendimas iš pradžiųatrodo, kad visiškai atrodo nuo realybės, nes sunku suprasti akivaizdžių taikymo sričių. Iš tiesų, jų negalima tiesiogiai naudoti bet kur, bet jie yra laikomi būtinais tarpiniais veiksniais ieškant sprendimų, kurie praktiškai naudojami. Taigi integracija yra atvirkščiai diferencijuota, dėl kurios ji aktyviai dalyvauja lygčių sprendimo procese.

Savo ruožtu šios lygtys yratiesioginė įtaka mechaninių problemų sprendimui, trajektorijų skaičiavimui ir šilumos laidumui, - trumpai tariant, viskas, kas sudaro esamą ir formuoja ateitį. Neapibrėžtas integralas, kurio pavyzdžiai mes minėjome aukščiau, yra nereikšmingi tik iš pirmo žvilgsnio, nes tai yra pagrindas vis daugiau naujų atradimų.